Ahli matematik Mesir kuno (k.k. 1850 – 600 SM)
Matematik Mesir merujuk kepada matematik yang
ditulis dalam bahasa Mesir. Dari tempoh Hellenistik, bahasa
Yunani menggantikan bahasa Mesir bagi bagi bahasa penulisan sarjana Mesir,
dan bermula detik ini matematik Mesir bergabung dengan Matematik Yunani dan
Babylon, lalu memberikan matematik Hellenstik. Pembelajaran matematik di Mesir kemudian
diteruskan bawah pemerintahan Khalifah
Islam sebagai sebahagian matematik
Islam apabila bahasa Arab dijadikan bahasa penulisan sarjana Mesir.
Teks matematik tertua buat masa ini papirus Moscow, sebagai sebahagian
papirus Kerajaan Pertengahan Mesir
bertarikh kk. 2000—1800 SM. Seperti teks matematik purba lain, ia mengandungi
apa yang kita kenali sebagai "permasalahan perkataan" atau
"cerita permasalahan", yang digunakan sebagai hiburan.
Satu
permasalahan dikira penting kerana ia memberikan cara untuk mencari isi padu frustum: "Jika kamu diberitahu: Sebuah
piramid terpenggal yang 6 bagi ketinggian menegaknya dengan 4 bagi tapa dan 2
di atas. Kamu mengkuasa-duakan 4 ini akan menjadi 16. Kamu menggandakan 4,
hasilnya 8. Kamu mengkuasa-duakan 2, hasilnya 4. Kamu menambahkan 16, 8, dan 4,
hasilnya 28. Kamu ambil satu pertiga dari enam, hasilnya dua. Kamu ambil 28 dua
kali, hasilnya 56. Tengok, ia 56. Kamu akan mendapatinya betul."
Papirus Rhind (kk. 1650 SM [3])
merupakan teks matematik utama lain, sebuah manual arahan dalam aritmetik dan
geometri. Sebagai tambahan untuk memberi rumus luas dan kaedah bagi pendaraban,
pembahagian dan menggunakan unit pecahan, ia juga mengandungi bukti bagi
pengetahuan matematik lain (lihat [4]),
termasuklah nombor gubahan dan perdana;
min
aritmetik, geometri dan harmoni; dan pemahaman mudah bagi
kedua-dua Penapis Eratosthenes dan teori nombor sempurna (dinamakan, itu
yang bernombor 6)[5]. Ia juga
menunjukkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear tertib pertama [6]
begitu juga dengan janjang aritmetik dan geometri [7].
Juga, tiga unsur geometri terkandung dalam
papirus Rhind mencadangkan pembuktian termudah bagi geometri analisis: (1) paling
pertama, bagaimana untuk mendapatkan penghampiran bagi π
jitu hingga kurang dari satu peratus; (2) kedua, kerja purba mengkuasa-duakan bulatan;
dan (3) ketiga, penggunaan paling awal bagi kotangen.
Akhir sekali papirus Berlin (kk. 1300 SM [8] [9])
menunjukkan masyarakan Mesir purba mampu menyelesaikan persamaan algebra tertib kedua [10].
Ahli matematik Babylon kuno (k.k. 1800 – 550 SM)
Matematik Babylonia
merujuk kepada mana-mana matematik orang Mesopotamia
(Iraq kini) dari
masa awal Sumer
sehingga permulaan Zaman Keyunanian. Ia dinamai sebagai
matematik Babylonia kerana peranan utama Babylon sebagai
sebuah tempat pengajian. Bagaimanapun, tempat ini kemudian hilang sama sekali
pada zaman Keyunanian dan sejak dari masa itu, matematik Babylon bergabung dengan matematik Yunani dan
Mesir untuk menghasilkan matematik Keyunanian.
Berbeza dengan kekurangan sumber matematik
Mesir, pengetahuan kita tentang matematik Babylonia berasal daripada
melebihi 400 buah tablet lempung yang diekskavasi sejak
dari dekad 1850-an.
Dituliskan dalam skrip tulisan pepaku,
tablet-tablet itu ditulis semasa tanah liatnya
masih lembap dan dibakar di dalam ketuhar atau melalui haba matahari.
Sesetengah tablet tersebut kelihatan merupakan kerja sekolah yang disemak.
Kebanyakannya yang diekskavasi antara tahun 1800 SM
hingga tahun 1600 SM merangkumi topik-topik yang termasuk pecahan, algebra, persamaan kuadratik dan persamaan kuasa tiga, serta juga
penghitungan tigaan Pythagorus (sila lihat Plimpton 322). [7]
Tablet-tablet itu juga merangkumi jadual-jadual pendaraban
dan trigonometri,
serta kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan-persamaan linear dan kuadratik.
Tablet Babylonia YBC 7289 memberikan anggaran √2 yang tepat sehingga lima tempat perpuluhan.
Matematik Babylonia ditulis dengan menggunakan sistem angka perenampuluhan
(asas-60). Berdasarkan ini, kita menerbitkan kegunaan 60 saat seminit, 60 minit sejam, dan 360 (60 x 6)
darjah sebulatan. Kemajuan-kemajuan matematik Babylonia
dipermudah oleh fakta bahawa nombor 60 mempunyai banyak pembahagi. Berbeza
dengan orang Mesir, Yunani, dan Rom, orang Babylonia mempunyai sistem nilai tempat yang benar,
dengan angka-angka yang ditulis pada lajur kiri mewakil nilai yang lebih besar,
iaitu serupa dengan sistem perpuluhan. Bagaimanapun, mereka tidak mempunyai titik
perpuluhan dan oleh itu, nilai tempat sesuatu simbol harus disimpul berdasarkan
konteksnya.
Ahli matematik Cina kuno (k.k. 1300 SM – 200 Masihi)
Mulanya dari zaman Shang (1500—1027 SM), extant terawal matematik Cina
mengandungi nombor-nombor yang dituliskan pada kerang kura-kura [11] [12].
Nombo-nombor ini menggunakan sistem perpuluhan, supaya nombor 123 dituliskan
(dari atas ke bawah) sebagai lambang untuk 1 diikuti oleh angkanya untuk
seratus, kemudian angkanya untuk 2 diikuti oleh angka untuk sepuluh, akhirnya
angka untuk 3. Ini adalah sistem bilangan yang termaju di dunia dan membenarkan
pengiraan diangkutkan pada suan pan atau sempoa Cina. Tarikh penciptaan suan pan
tidak tentu, tetapi rujukan terawal adalah pada AD 190 pada Supplementary
Notes on the Art of Figures yang ditulis oleh Xu Yue. Suan pan sudah tentu
digunakan lebih awal dari tarikh ini.
Di China, pada 212 SM, Maharaja Qin Shi
Huang (Shi Huang-ti) mengarahkan bahawa semua buku tersebut dibakarkan. Sedangkan arahan ini tidak dituruti
dengan secara besar, sebagai akibatnya sedikit yang diketahui dengan tentu
mengenai matematik Cina kuno. Dari Dinasti
Zhou, karya matematik yang terlama yang telah diselamatkan dari pembakaran buku adalah I Ching, yang
menggunakan 64 pilih atur sebuah garis pejal atau putus-putus untuk tujuan
berfalsafah atau mistik.
Selepas tempoh pembakaran buku tersebut, Dinasti Han
(206 BC—AD 221) menghasilkan karya matematik yang dianggapkan berkembang pada
karya-karya yang hilang sekarang. Yang terpenting dari kesemuanya adalah Sembilan Bab pada
Kesenian Matematik. ia mengandungi masalah 246 perkataan, termasuk
pertanian, perniagaan dan kejuruteraan dan termasuk bahan pada segi tiga kanan dan π.
Ahli matematik India kuno (k.k. 900 SM – 200 Masihi)
Shatapatha Brahmana (kk.
kurun ke-9 SM) menganggarkan nilai π hingga dua tempat perpuluhan.[13]
Sutra Sulba (kk. 800-500 SM) adalah teks geometri yang
menggunakan nombor bukan nisbah, nombor
perdana, dan petua tigaan dan punca kuasa tiga; mengira punca
kuasa dua bagi 2 hingga lima tempat perpuluhan; memberikan kaedah bagi mengkuasa duakan bulatan;
menyelesaikan persamaan linear dan persamaan kuadratik; mengembangkan trirangkap Pythagoras secara algebra
dan memberikan bukti] pernyataan dan perangkaan bagi teorem
Pythagoras.
Pāṇini (kk. abad ke-5
SM) merumuskan peraturan tatabahasa untuk Bahasa
Sanskrit. Catatannya mirip dengan catatan matematik moden, dan menggunakan
peraturan meta, transformasi, dan rekursi dengan canggihnya yang tatabahasanya
mengadakan kuasa pengiraan bersamaan dengan mesin Turing. Karya Panini juga
digunakan pada perintis teori moden bagi tatabahasa formal (penting dalam
pengiraan), manakala bentuk Panini-Backus menggunakan
oleh kebanyakan bahasa pengaturcaraan moden yang juga membawa
maksud serupa dengan petua tatabahasa Panini.
Pingala (kira-kira abad ke-3
SM-abad pertama SM) dalam karangan prosodi yang menggunakan peranti yang secocok
dengan sistem berangka deduaan. His
discussion of the combinatorics of meters, corresponds to the binomial theorem. Pingala's work
also contains the basic ideas of Fibonacci numbers (called maatraameru).
The Brāhmī script was developed at least from the Maurya dynasty in the 4th century BC, with recent
archeological evidence appearing to push back that date to around 600 BC. The Brahmi numerals date to the 3rd century BC.
Between 400 BC and AD 200, Jaina mathematicians began
studying mathematics for the sole purpose of mathematics. They were the first
to develop transfinite numbers, set theory, logarithms, fundamental laws of indices, cubic equations, quartic equations, sequences and progressions, permutations and
combinations, squaring and extracting square roots, and finite and infinite powers.
The Bakshali Manuscript
written between 200 BC and AD 200 included solutions of linear
equations with up to five unknowns, the solution of the quadratic equation,
arithmetic and geometric progressions, compound series, quadratic indeterminate
equations, simultaneous equations, and the
use of zero and negative numbers. Accurate computations
for irrational numbers could be found, which includes computing square roots of
numbers as large as a million to at least 11 decimal places.
Matematik Yunani dan Keyunanian
(k.k. 550 SM – 300 Masihi)
Walaupun teks matematik terawal dalam bahasa
Greek yang telah ditemui ditulis selepas zaman keyunanian, banyak teks ini
dianggap sebagai salinan karya-karya yang ditulis semasa dan sebelum zaman
keyunanian. Bagaimanapun, tarikh-tarikh penulisan matematik Greek adalah lebih
pasti berbanding dengan tarikh-tarikh penulisan matematik yang lebih awal,
kerana terdapat sebilangan besar kronologi yang mencatat peristiwa dari setahun
ke setahun sehingga hari ini. Walaupun demikian, banyak tarikh masih tidak
pasti, tetapi keraguan adalah pada tahap beberapa dekad dan bukannya
berabad-abad.
Matematik Greek dianggap dimulakan oleh Thales (k.k.. 624 — k.k. 546 SM) dan Pythagoras
(k.k. 582 — k.k. 507 BC) walapun takat pengaruh mereka masih dipertikaikan.
Mereka mungkin dipengaruhi oleh idea-idea Mesir,
Mesopotamia, dan India.
Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan masalah-masalah seperti mengira
ketinggian piramid dan jarak kapal dari pantai. Menurut ulasan Proclus tentang Euclid, Pythagoras
mengemukakan teorem Pythagorus dan membina tigaan Pythagorus melalui algebra.
Adalah diaku secara umum bahawa matematik Greek berbeza dengan matematik
jiran-jirannya dari segi desakannya terhadap bukti-bukti aksioman. [8]
Ahli-ahli matematik Greek dan keyunanian
merupakan orang-orang pertama bukan sahaja untuk memberi bukti kepada nisbah (hasil usaha para penyokong Pythagorus), tetapi
juga untuk mengembangkan kaedah menerusi habisan,
serta saringan Eratosthenes untuk
menentukan nombor perdana. Mereka menggunakan kaedah ad hoc untuk membina
sebuah bulatan atau elips dan mengembangkan sebuah teori kon yang menyeluruh; mereka mengambil banyak
formula yang berbagai untuk keluasan dan isi padu, dan menyimpulkan
kaedah-kaedah untuk mengasingkan formula yang betul daripada yang salah, serta
menghasilkan formula-formula am.
Bukti-bukti abstrak tercatat yang pertama adalah
dalam bahasa Greek, dan semua kajian logik yang masih wujud berasal daripada
kaedah-kaedah yang disediakan oleh Aristotle.
Dalam karyanya, Unsur-unsur, Euclid menulis
sebuah buku yang telah dipergunakan sebagai buku teks matematiks di seluruh Eropah, Timur Dekat,
dan Afrika
Utara selama hampir dua ribu tahun. Selain daripada teorem-teorem geometri
yang biasa seperti teorem Pythagorus, Unsur-unsur
merangkumi suatu bukti yang menunjukkan bahawa punca kuasa dua adalah suatu
nisbah, dan bilangan nombor perdana adalah tidak terhingga.
Sesetengah cendekiawan mengatakan bahawa Archimedes
(287 – 212 SM) dari Syracuse ialah ahli matematik Greek
yang terunggul, jika bukan ahli matematik yang terunggul di seluruh dunia
sehingga masa ini. Menurut Plutarch, Archimedes dilembing oleh seorang askar Rom semasa
menulis formula-formula matematik pada debu ketika berumur 75 tahun. Masyarakat
Rom tidak meninggalkan banyak bukti tentang minat mereka terhadap matematik
tulen.
Matematik Klasik Cina (k.k. 400 – 1300)
Zu Chongzhi (abad ke-5)
dari Dinasti Selatan dan Utara
menghitung nilai π hingga tujuh tempat perpuluhan yang merupakan nilai π yang
paling tepat selama hampir 1,000 tahun.
Selama seribu tahun yang menyusul dinasti Han,
mulai dari dinasti Tang sehingga dinasti
Song, matematik Cina berkembang maju ketika zaman matematik Eropah masih
belum wujud. Perkembangan-perkembangan yang mula-mulanya dibuat di China dan
hanya kemudian diketahui di dunia Barat, termasuk nombor negatif, teorem bionomial, kaedah-kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan teorem baki Cina. Orang Cina juga
mengembangkan segi tiga Pascal dan peraturan tiga lama
sebelum ia dikenali di Eropah.
Walaupun selepas matematik Eropah mula berkembang
maju semasa Zaman Perbaharuan Eropah,
matematik Eropah dan Cina merupakan dua tradisi yang berlainan, dengan keluaran
matematik Cina yang penting mengalami kemerosotan sehingga para mubaligh Jesuit membawa
idea-idea matematik ulang-alik antara kedua-dua budaya itu dari abad ke-16
hingga abad ke-18.
Matematik Klasik India (k.k. 400 – 1600)
Surya Siddhanta (k.k. 400) memperkenalkan fungsi trigonometri bagi sinus, kosinus, serta
sinus songsang, dan menyediakan peraturan untuk menentukan pergerakan
cakerawala kilau yang mengikut posisi-posisinya yang sebenar di langit. Kitaran
waktu kosmologi yang dijelaskan dalam teksnya yang disalin daripada karya yang
lebih awal adalah 365.2563627 hari bagi setiap tahun purata mengikut bintang,
iaitu hanya 1.4 saat lebih lama daripada nilai moden sebanyak 365.25636305
hari. Karya ini telah diterjemahkan dalam Bahasa Arab
dan Bahasa
Latin sewaktu Zaman Pertengahan.
Pada tahun 499, Aryabhata
memperkenalkan fungsi versinus dan menghasilkan jadual sinus trigonometri
yang pertama, mengembangkan teknik dan algoritma algebra, infinitesimal, persamaan pembezaan, dan memperolehi
penyelesaian nombor bulat untuk persamaan linear dengan suatu cara yang serupa
dengan cara moden, bersamaan dengan perkiraan astronomi
tepat berasaskan sebuah sistem kegravitian heliosentrik. Sebuah terjemahan Aryabhatiya
dalam bahasa
Arab dari abad
ke-8 dapat diperolehi, diikuti dengan terjemahan dalam bahasa Latin dari abad ke-13.
Beliau juga mengira nilai π hingga empat tempat perpuluhan sebagai 3.1416. Kemudian pada abad ke-14,
Madhava menghitung nilai π
sehingga sebelas tempat perpuluhan sebagai 3.14159265359.
Pada abad ke-7, Brahmagupta memperkenalkan teorem Brahmagupta, identiti Brahmagupta, serta rumus Brahmagupta dan dalam
karyanya, Brahma-sphuta-siddhanta,
beliau buat pertama kali menerangkan dengan jelas tentang sistem angka Hindu-Arab serta penggunaan
sifar sebagai pemegang tempat dan angka perpuluhan. Adalah daripada
terjemahan teks matematik India
ini (sekitar 770)
bahawa ahli-ahli matematik Islam telah diperkenalkan kepada sistem angka ini
yang kemudian disesuaikan oleh mereka menjadi angka Arab.
Cendekiawan-cendekiawan Islam membawa ilmu sistem nombor ini ke Eropah menjelang abad ke-12
dan kini, sistem ini telah menggantikan semua sistem nombor yang lebih lama di
seluruh dunia. Pada abad ke-10, ulasan Halayudha bagi karya Pingala mengandungi sebuah kajian jujukan Fibonacci dan segi
tiga Pascal, serta menggambarkan pembentukan matriks.
Pada abad ke-12,
Bhaskara merupakan tokoh pertama untuk
memikirkan kalkulus pembezaan, bersamaan
dengan konsep-konsep terbitan, pekali pembezaan dan pembezaan. Beliau juga
membuktikan teorem Rolle (kes khas untuk teorem
nilai min), mengkaji persamaan Pell, dan menyiasat terbitan
fungsi sinus. Sejak abad ke-14, Madhava serta ahli-ahli
matematik Pusat Pengajian Kerala yang
lain mengembangkan ideanya dengan lebih lanjut.
Mereka mengembangkan
konsep-konsep analisis matematik dan nombor titik apung, serta konsep asas bagi
seluruh perkembangan kalkulus, termasuk teorem nilai min, pengamiran
sebutan demi sebutan, perhubungan antara keluasan di bawah lengkuk dengan
kamirannya, ujian untuk ketumpuan, kaedah lelaran bagi penyelesaian
persamaan tak linear, serta sebilangan siri tak terhingga, siri kuasa, siri Taylor
dan siri trigonometri. Pada abad ke-16, Jyeshtadeva menggabungkan banyak
perkembangan dan teorem Pusat Pengajian Kerala dalam karya Yuktibhasa,
sebuah teks kalkulus pembezaan pertama di dunia yang juga merangkumi
konsep-konsep kalkulus kamiran.
Kemajuan matematik
di India
menjadi lembap sejak akhir abad ke-16, akibat pergolakan politik.
Matematik Islam (k.k. 700 – 1600)
Kekalifahan Islam (Empayar Islam) yang diasaskan di Timur
Tengah, Afrika Utara, Iberia, dan sesetengah bahagian India
(di Pakistan)
pada abad
ke-8 mengekalkan dan menterjemahkan banyak teks matematik keyunanian
(daripada bahasa Greek kepada bahasa Arab)
yang kebanyakannya telah dilupai di Eropah pada masa
itu.
Penterjemahan berbagai-bagai teks matematik India dalam bahasa Arab
memberikan kesan yang utama kepada matematik Islam, termasuk pengenalan angka Hindu-Arab ketika karya-karya Brahmagupta diterjemahkan dalam bahasa
Arab pada kira-kira tahun 766.
Karya-karya India dan keyunanian menyediakan
asas untuk penyumbangan Islam yang penting dalam bidang matematik yang
menyusul. Serupa dengan ahli-ahli matematik India pada waktu itu, ahli-ahli
Islam minat akan astronomi khususnya.
Walaupun kebanyakan teks matematik Islam ditulis
dalam bahasa Arab, bukan semuanya ditulis oleh orang Arab kerana, serupa
dengan status bahasa Greek di dunia keyunanian, bahasa Arab dipergunakan
sebagai bahasa tertulis oleh cendekiawan-cendekiawan bukan Arab di seluruh
dunia Islam pada waktu itu. Sesetengah ahli matematik yang terpenting adalah orang Parsi.
Muhammad ibn Musa
al-Khwarizmi, ahli astronomi Parsi abad ke-9 dari Kekalifahan Baghdad, menulis banyak
buku yang penting mengenai angka Hindu-Arab dan kaedah untuk menyelesaikan
persamaan. Perkataan algoritma berasal daripada namanya, manakala perkataan algebra
berasal daripada judul Al-Jabr wa-al-Muqabilah,
salah satu karyanya. Al-Khwarizmi sering dianggap sebagai bapa algebra moden
dan algoritma moden.
Perkembangan algebra yang
lebih lanjut telah dibuat oleh Abu Bakr al-Karaji (953—1029)
dalam karyanya, al-Fakhri, yang memperluas kaedah algebra untuk
merangkumi kuasa kamiran serta punca kuasa bagi kuantiti yang tidak diketahui.
Pada abad
ke-10, Abul Wafa menterjemahkan karya-karya Diophantus dalam bahasa Arab dan
mengembangkan fungsi tangen.
Omar
Khayyam, pemuisi serta ahli matematik abad ke-12,
menulis Perbincangan mengenai Kesukaran dalam Euclid,
sebuah buku mengenai kecacatan dalam karya Unsur-unsur Euclid. Beliau
memberi penyelesaian geometri untuk persamaan kuasa tiga yang
merupakan salah satu perkembangan yang paling asli dalam matematik Islam.
Khayyam amat terpengaruh dalam pembaharuan takwim. Sebahagian
besar trigonometri sfera dikembangkan
oleh Nasir al-Din Tusi (Nasireddin),
salah seorang ahli matematik Parsi pada abad ke-13.
Beliau juga menulis sebuah karya yang terpengaruh mengenai postulat selari Euclid.
Dalam abad ke-15,
Ghiyath al-Kashi mengira nilai π sehingga tempat
perpuluhan ke-16. Kashi juga mencipta algoritma untuk mengira punca kuasa ke-n
yang merupakan kes yang khas untuk kaedah-kaedah yang diberikan berabad-abad
kemudian oleh Ruffini dan Horner. Ahli-ahli matematik Islam lain yang terkenal
termasuk al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil dan Abu Sahl al-Kuhi.
Pada zaman Kerajaan Turki Uthmaniyah dalam abad ke 15, perkembangan matematik Islam
menjadi lembap. Ini adalah selari dengan kelembapan perkembangan matematik
ketika orang Rom menaklukkan dunia keyunanian.
0 Comments
